计算机存储整数的方法
计算机存储整数主要采用两种方式：无符号整数和有符号整数的存储。每种存储方式都基于二进制系统，但处理正负数的方式不同。
1. 无符号整数的存储
无符号整数只表示非负数。在无符号整数存储中，所有的位（bit）都用于表示数值的大小，没有位被用来表示符号。
存储范围
- 8位无符号整数：可以存储从0到255的数值。
- 32位无符号整数：可以存储从0到4,294,967,295的数值。
2. 有符号整数的存储：补码
有符号整数可以表示正数、负数和零。计算机采用“补码”（Two’s complement）格式来存储有符号整数。
补码的定义和计算
补码的计算方式如下：
- 正数和零：直接使用其标准的二进制表示。
- 负数：
- 取其正数的二进制表示。
- 将所有位取反（0变为1，1变为0）。
- 最后结果加一。
3.通过数论来推导整数的储存规则
对于0-255的每一个数 Xi , Xi mod 256 得到的余数与 另一个数 Xj mod 256 得到的余数都不相同
对于0-255 数论上定义这是 mod 256 的一个最小非负完全剩余系 {0,1,2…254,255}
实际上计算机储存的8 Bit数据就是 2^8的一个完全剩余系
-
如果我们储存的整数是无符号的，那么我们的储存范围就是0-255，储存的是mod 256 的一个最小非负完全剩余系 {0,1,2…254,255}
-
如果我们储存的整数是有符号的，那么我们储存范围就是 -128-127，储存的是mod 256 的一个剩余系 {-128,-127…126,127}
如何转化负数？
- 以 -128 -127 -126 -125 为例
我们有同余方程 -128=128 mod 256
====> Dec (128)=Bin (1000 000)
我们有同余方程 -127=129 mod 256
====> Dec (129)=Bin (1000 0001)
我们有同余方程 -126=130 mod 256
====> Dec (130)=Bin (1000 0010)
- 这里我们和 127 126 125 做对比
====> Dec (127)=Bin (0111 1111)
====> Dec (126)=Bin (0111 1110)
====> Dec (125)=Bin (0111 1101)
这里我们注意到储存有符号整数的剩余系中，对于负数的储存都是转化为同余数之后在储存
这帮发明计算机的大爹们就注意到负数的首位都是1，正数的首位都是0
于是这个首位就被定义为了符号位
示例
- -1的补码：在8位系统中，因为 (-1 \equiv 255 \mod 256)，因此-1的补码就是255的二进制表示
11111111。 - -127的补码：(-127 \equiv 129 \mod 256)，因此-127的补码是129的二进制表示
10000001。
计算机储存浮点数规则
1. IEEE754浮点数标准
-
单精度float：32位bit(四字节)储存, 符号S位占1bit, 指数E占8bit, 尾数M占23bit
-
双精度double：64位bit(八字节)储存, 符号S位占1bit, 指数E占11bit, 尾数M占52bit
2. 指数 E 是什么？
指数 E 是个无符号整数，表示 float 时，一共占 8 bit，所以它的取值范围为 0 ~ 255。
但因为指数可以是负的，所以规定在存入 E 时在它原本的值加上一个中间数 127(2^7-1)，这样 E 的取值范围为 -127 ~ 128。
表示 double 时，一共占 11 bit，存入 E 时加上中间数 1023，这样取值范围为 -1023 ~ 1024。
3. 为什么指数要加127？
这里储存指数位的数学原理还是数论中的剩余系
这里还是以 8 bit 为例子
如果指数位E只是正数的话 0000 0000 就可以储存 0 - 255
比如：
Dec (127)=Bin ( 0111 1111)
但是对于浮点数来说指数位也是存在负数的
比如储存 Dec (0.5)=Bin (0.1) = Bin (1x2^-1)
E = -1
对于负整数的储存，我们采取补码的形式来解决(即对剩余系中的负数 +256进行映射)。
补码中我们使用符号位来记录数值的正负。
想一下我们补码的符号位是怎么来的
在补码中我们采取对剩余系中负数+256进行映射
将 {-128,-127…127} 映射到 {0,1,2…254,255}
这就导致了负数的首位都是1，而正数的首位都是0。
但是在浮点数的储存中，我们已经有一个符号位来记录了。
为了避免符号位的重复，我们选择对剩余系中的每一个数字都进行映射
在标准的float储存中，指数位是 8 Bit (0000 0000)
于是我们的映射就是对每一个数都 +127 进行同余映射
将 {-127…128} 映射到 {0,1,2…254,255}
与补码映射的对比
- 补码映射:对含负数的剩余系中的负数+256进行映射
将 {-128,-127…127} 映射到 {0,1,2…254,255}
0 -----> 0
127 ----> 127
-128 —> 128
- 指数位映射:对含负数的剩余系中的每一个+127进行映射
将 {-127…128} 映射到 {0,1,2…254,255}
0 -------->128
-127 ------>0
-10 ------>117
这里映射选取的值取决于剩余系中的最小负数
4. 指数位与尾数位的特殊值
- 指数 E 非全 0 且非全 1：规格化数字，按上面的规则正常计算
- 指数 E 全 0，尾数非 0：非规格化数，尾数隐藏位不再是 1，而是 0(M = 0.xxxxx)，这样可以表示 0 和很小的数
- 指数 E 全 1，尾数全 0：正无穷大/负无穷大（正负取决于 S 符号位）
- 指数 E 全 1，尾数非 0：NaN (Not a Number)
这个特殊值的规定导致了float的 E的实际取值范围不是-127-128，而是-126-127。
因为-127映射之后是0，表示为0000 0000 全0特殊值
因为128映射之后是255，表示为1111 1111 全1 特殊值
5. 浮点数的储存范围
这里以float类型为例
上面我们得知float类型的指数E取值范围是[-126,127]，尾数的最大值为1.111…(即小数点后23位)
所以float类型的规格最大储存值是
(1+(1−2−23))×2127 ≈3.4028235×10^38
同理也可以得到规格最小储存值是
(0.000…1)×2^-126 ≈2-23x2-126 =2^-149 ≈1.40129846×10^−45
6.浮点数为什么会有精度损失
如果我们现在想用浮点数表示 0.2，它在转化为二进制的时候会发生尾数的截断
0.2 转换为二进制数的过程为，不断乘以 2，直到不存在小数为止，在这个计算过程中，得到的整数部分从上到下排列就是二进制的结果。
尾数位的限制
因为float类型只有23位尾数位，而double类型有52位尾数位，这意味着在达到这些位数后，剩余的位数将被截断。这个截断就是精度损失的来源。即使是使用double类型，虽然精度更高，但如果数字的二进制表示超过52位，仍然会有精度损失。
在float中最多会转化 23 bit 二进制小数
在double中最多会转化 52 bit 二进制小数
因此，当你在编程中使用浮点数时，可能会注意到例如0.2 + 0.1不精确等于0.3，而是一个非常接近0.3但略有不同的数。这种现象是由于二进制表示中的截断和舍入误差造成的。
